МАТЕМАТИКА

Примеры заданий
ОГЭ, ЕГЭ, ТЕОРИЯ, ПРАКТИКА, ТЕСТЫ
Математика / ИКТ (ЕГЭ)
Русский язык (д/з)
Физика (лаб.работы)
Информатика (Теория)
ВАРИАНТ 5 Четырёхугольник ABCD со сторонами AB=28 и CD=4 вписан в окружность
МАТЕМАТИКА, РУССКИЙ ЯЗЫК - 9 КЛАСС - РЕШЕНИЯ ЗАДАНИЙ > Четырехугольник > ВАРИАНТ 5 Четырёхугольник ABCD со сторонами AB=28 и CD=4 вписан в окружность
 

Страницы: 1 2

Задания - решение
№ 1 Площадь четырёхугольника можно вычислить по формуле S=d1d2sinα / 2, где d1 и d2 — длины диагоналей четырёхугольника, α — угол между диагоналями. Пользуясь этой формулой, найдите длину диагонали d1, если d2=15, sinα=2/5, a S=36.

РЕШЕНИЕ:

S=d1d2sinα / 2

2S=d1d2sinα

d1 = 2S __
____d2sinα

d1 = 2∙15 __
____15∙2/5

d1 = 2∙15 __
____6

d1 = 5

Ответ: 5

№ 2 Площадь четырёхугольника можно вычислить по формуле S=d1d2sinα / 2, где d1 и d2 — длины диагоналей четырёхугольника, α — угол между диагоналями. Пользуясь этой формулой, найдите длину диагонали d1, если d2=16, sinα=5/8, a S=45.

РЕШЕНИЕ:

S=d1d2sinα / 2

2S=d1d2sinα

d1 = 2S __
____d2sinα

d1 = 2∙45 __
____16∙5/8

d1 = 2∙45 __
____10

d1 = 9

Ответ: 9

№ 3 Четырёхугольник ABCD со сторонами AB=28 и CD=4 вписан в окружность. Диагонали AC и BD пересекаются в точке K, причём ∠AKB=60°. Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника.

РЕШЕНИЕ:



AB=28 и CD=4

Проводим AM || BD ⇒ DM = AB = 28 ; ∠1 = ∠BKA = 60o как накрест лежащие

ACDM вписан в окружность ⇒ сумма противолежащих углов 180о ⇒
∠1+∠2 = 180
60 + ∠2 = 180
∠2 = 120о

Рассмотрим ∆ CDM

Он списан в окружность

по т. косинусов CM2 = CD2 + DM2 - 2∙CM∙DM∙cos∠2
CM2 = 282 + 42 - 2∙28∙4∙cos120 = 282 + 42 - 2∙28∙4∙( –cos60) = 784 + 16 + 224∙1/2 = 800 + 112 = 912

CM = √912

по т. синусов

CM ___ = 2R
sin ∠2

CM ___ = 2R
sin 120

CM ___ = 2R
sin 60

2CM ___ = 2R
√3

CM ___ = R
√3

√912 ___ = R
√3

R = √304 = 4√19

Ответ: 4√19

№ 4 В выпуклом четырёхугольнике NPQM диагональ NQ является биссектрисой угла PNM и пересекается с диагональю PM в точке S. Найдите NS, если известно, что около четырёхугольника NPQM можно описать окружность, PQ=28, SQ=8.

РЕШЕНИЕ:



∠2 = ∠1 (NQ биссектриса)
∠2 = ∠3 (опираются на дугу MQ)
⇒ ∠1 = ∠3

∆ NPQ ∞ ∆ PSQ

NQ = PQ
PQ _ SQ

NQ = PQ2 / SQ

NQ = 282 / 8 = 98

NS = NQ – SQ = 98 – 8 = 90

Ответ: 90

№ 5 Середина M стороны AD выпуклого четырёхугольника ABCD равноудалена от всех его вершин. Найдите AD, если BC=8, а углы B и C четырёхугольника равны соответственно 129∘ и 96∘.

РЕШЕНИЕ:

Точка М равноудалена от вершин ⇒ четырехугольник вписан в окружность, AD диаметр



дуга АС = 2 ∠В = 2 ∙ 129 = 258
дуга ВD = 2 ∠С = 2 ∙ 96 = 192

сумма всех дуг окружности 360о

ВС + АС + BD – 180 = 360
BC + 258 + 192 - 180 = 360
BC + 270 = 360
BC = 90

∠BMC опирается на дугу ВС, ∠BMC = ВС = 90о

∆BMC прямоугольный равнобедренный треугольник, ВС = 8

а2 + а2 = 82
2а2 = 82
а = 4√2

АD = 2а = 2 ∙ 4√2 = 8√2

Ответ: 8√2
№ 6 В выпуклом четырехугольнике ABCD известно, что AB=BC, AD=CD, ∠B=77°, ∠D=141°. Найдите угол A. Ответ дайте в градусах.


РЕШЕНИЕ:

∠A = ∠C

Сумма углов в четырехугольнике 360о

∠B + ∠D + 2 ∠A = 360

∠A = (360o – ∠B – ∠D) / 2

∠A = (360o – 77o – 141o) / 2

∠A = 71o

Ответ: 71

№ 7 В выпуклом четырёхугольнике NPQM диагональ NQ является биссектрисой угла PNM и пересекается с диагональю PM в точке S. Найдите NS, если известно, что около четырёхугольника NPQM можно описать окружность, PQ=33, SQ=11.

РЕШЕНИЕ:



∠2 = ∠1 (NQ биссектриса)
∠2 = ∠3 (опираются на дугу MQ)
⇒ ∠1 = ∠3

∆ NPQ ∞ ∆ PSQ

NQ = PQ
PQ _ SQ

NQ = PQ2 / SQ

NQ = 332 / 11 = 99

NS = NQ – SQ = 99 – 11 = 88

Ответ: 88
№ 8 В выпуклом четырёхугольнике ABCD углы DAC и DBC равны. Докажите, что углы CDB и CAB также равны.

РЕШЕНИЕ:



углы DAC и DBC равны и опираются на [CD] ⇒ проводим окружность, АВСD вписан в окружность

углы CDB и CAB опираются на одну дугу BC ⇒ углы CDB и CAB равны

Страницы: 1 2
 
Перейти на другой форум:
При копировании материала с сайта активная ссылка обязательна!
Сайт управляется SiNG cms © 2010-2015