МАТЕМАТИКА

Примеры заданий
ОГЭ, ЕГЭ, ТЕОРИЯ, ПРАКТИКА, ТЕСТЫ

ВАРИАНТ 9 Четырёхугольник ABCD со сторонами AB=33 и CD=18 вписан в окружность
МАТЕМАТИКА, РУССКИЙ ЯЗЫК - 9 КЛАСС - РЕШЕНИЯ ЗАДАНИЙ > Четырехугольник > ВАРИАНТ 9 Четырёхугольник ABCD со сторонами AB=33 и CD=18 вписан в окружность
 

Страницы:

Задания - решение
№ 1 Площадь четырёхугольника можно вычислить по формуле S=d1d2sinα / 2, где d1 и d2 — длины диагоналей четырёхугольника, α — угол между диагоналями. Пользуясь этой формулой, найдите длину диагонали d2, если d1=17, sinα=1/3, a S=51.

РЕШЕНИЕ:

S=d1d2sinα / 2

2S=d1d2sinα

d2 = 2S __
____d1sinα

d2 = 2∙51 __
____17∙1/3

d2 = 2∙51∙3 __
____17

d2 = 18

Ответ: 18

№ 2 Площадь четырёхугольника можно вычислить по формуле S=d1d2sinα / 2, где d1 и d2 — длины диагоналей четырёхугольника, α — угол между диагоналями. Пользуясь этой формулой, найдите длину диагонали d2, если d1=7, sinα=6/11, a S=21.

РЕШЕНИЕ:

S=d1d2sinα / 2

2S=d1d2sinα

d2 = 2S __
____d1sinα

d2 = 2∙21 __
____7∙6/11

d2 = 2∙21∙11 __
____42

d2 = 11

Ответ: 11

№ 3 Середина M стороны AD выпуклого четырёхугольника равноудалена от всех его вершин. Найдите AD, если BC=8, а углы B и C четырёхугольника равны соответственно 92∘ и 148∘.

РЕШЕНИЕ:

Точка М равноудалена от вершин ⇒ четырехугольник вписан в окружность, AD диаметр



дуга АС = 2 ∠В = 2 ∙ 92 = 184
дуга ВD = 2 ∠С = 2 ∙ 148 = 296

сумма всех дуг окружности 360о

ВС + АС + BD – 180 = 360
BC + 184 + 296 - 180 = 360
BC + 300 = 360
BC = 60

∠BMC опирается на дугу ВС, ∠BMC = ВС = 60о

∆BMC равносторонний, ВС = а = 8

АD = 2а = 2 ∙ 8 = 16

Ответ: 16

№ 4 Четырёхугольник ABCD со сторонами AB=33 и CD=18 вписан в окружность. Диагонали AC и BD пересекаются в точке K, причём ∠AKB=60∘. Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника.

РЕШЕНИЕ:



AB=33 и CD=18

Проводим AM || BD ⇒ DM = AB = 33 ; ∠1 = ∠BKA = 60o как накрест лежащие

ACDM вписан в окружность ⇒ сумма противолежащих углов 180о
∠1+∠2 = 180
60 + ∠2 = 180
∠2 = 120о

Рассмотрим ∆ CDM

Он списан в окружность

по т. косинусов CM2 = CD2 + DM2 - 2∙CM∙DM∙cos∠2
CM2 = 332 + 182 - 2∙33∙18∙cos120 = 332 + 182 - 2∙33∙18∙( –cos60) = 1089 + 324 + 1188∙1/2 = 1413 + 594 = 2007

CM = √2007

по т. синусов

CM ___ = 2R
sin ∠2

CM ___ = 2R
sin 120

CM ___ = 2R
sin 60

2CM ___ = 2R
√3

CM ___ = R
√3

√2007 ___ = R
√3

R = √669

Ответ: √669


№ 5 Четырёхугольник ABCD со сторонами AB=19 и CD=22 вписан в окружность. Диагонали AC и BD пересекаются в точке K, причём ∠AKB=60∘. Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника.

РЕШЕНИЕ:



AB=19 и CD=22

Проводим AM || BD ⇒ DM = AB = 19 ; ∠1 = ∠BKA = 60o как накрест лежащие

ACDM вписан в окружность ⇒ сумма противолежащих углов 180о
∠1+∠2 = 180
60 + ∠2 = 180
∠2 = 120о

Рассмотрим ∆ CDM

Он списан в окружность

по т. косинусов CM2 = CD2 + DM2 - 2∙CM∙DM∙cos∠2
CM2 = 192 + 222 - 2∙19∙22∙cos120 = 192 + 222 - 2∙19∙22∙( –cos60) = 361 + 484 + 836∙1/2 = 845 + 418 = 1263

CM = √1263

по т. синусов

CM ___ = 2R
sin ∠2

CM ___ = 2R
sin 120

CM ___ = 2R
sin 60

2CM ___ = 2R
√3

CM ___ = R
√3

√1263 ___ = R
√3

R = √421

Ответ: √421

№ 6 Середина M стороны AD выпуклого четырёхугольника ABCD равноудалена от всех его вершин. Найдите AD, если BC=18, а углы B и C четырёхугольника равны соответственно 132∘ и 93∘.

РЕШЕНИЕ:

Точка М равноудалена от вершин ⇒ четырехугольник вписан в окружность, AD диаметр



дуга АС = 2 ∠В = 2 ∙ 132 = 264
дуга ВD = 2 ∠С = 2 ∙ 93 = 186

сумма всех дуг окружности 360о

ВС + АС + BD – 180 = 360
BC + 264 + 186 - 180 = 360
BC + 270 = 360
BC = 90

∠BMC опирается на дугу ВС, ∠BMC = ВС = 90о

∆BMC прямоугольный равнобедренный треугольник, ВС = 18

а2 + а2 = 182
2 = 182
а = 9√2

АD = 2а = 2 ∙ 9√2 = 18√2

Ответ: 18√2

№ 7 В выпуклом четырёхугольнике NPQM диагональ NQ является биссектрисой угла PNM и пересекается с диагональю PM в точке S. Найдите NS, если известно, что около четырёхугольника NPQM можно описать окружность, PQ=14, SQ=4.

РЕШЕНИЕ:



∠2 = ∠1 (NQ биссектриса)
∠2 = ∠3 (опираются на дугу MQ)
∠1 = ∠3

∆ NPQ ∞ ∆ PSQ

NQ = PQ
PQ _ SQ

NQ = PQ2 / SQ

NQ = 142 / 4 = 49

NS = NQ – SQ = 49 – 4 = 45

Ответ: 45

№ 8 Четырёхугольник ABCD со сторонами AB=44 и CD=8 вписан в окружность. Диагонали AC и BD пересекаются в точке K, причём ∠AKB=60∘. Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника.

РЕШЕНИЕ:



AB=44 и CD=8

Проводим AM || BD ⇒ DM = AB = 44 ; ∠1 = ∠BKA = 60o как накрест лежащие

ACDM вписан в окружность ⇒ сумма противолежащих углов 180о
∠1+∠2 = 180
60 + ∠2 = 180
∠2 = 120о

Рассмотрим ∆ CDM

Он списан в окружность

по т. косинусов CM2 = CD2 + DM2 - 2∙CM∙DM∙cos∠2
CM2 = 442 + 82 - 2∙44∙8∙cos120 = 442 + 82 - 2∙44∙8∙( –cos60) = 1936 + 64 + 704∙1/2 = 2000 + 352 = 2352

CM = √2354

по т. синусов

CM ___ = 2R
sin ∠2

CM ___ = 2R
sin 120

CM ___ = 2R
sin 60

2CM ___ = 2R
√3

CM ___ = R
√3

√2354 ___ = R
√3

R = √784 = 28

Ответ: 28


Страницы:
 
Перейти на другой форум:
При копировании материала с сайта активная ссылка обязательна!
Сайт управляется SiNG cms © 2010-2015