LASKA-SAMP.BIZ
Примеры заданий
ОГЭ, ЕГЭ, ТЕОРИЯ, ПРАКТИКА, ТЕСТЫ
Математика / ИКТ (ЕГЭ)
Русский язык (д/з)
Физика (лаб.работы)
Информатика (Теория)
ВАРИАНТ 9 Четырёхугольник ABCD со сторонами AB=33 и CD=18 вписан в окружность
МАТЕМАТИКА, РУССКИЙ ЯЗЫК - 9 КЛАСС - РЕШЕНИЯ ЗАДАНИЙ
>
Четырехугольник
>
ВАРИАНТ 9 Четырёхугольник ABCD со сторонами AB=33 и CD=18 вписан в окружность
Страницы:
1
2
Задания - решение
№ 1
Площадь четырёхугольника можно вычислить по формуле S=d
1
d
2
sinα / 2, где d
1
и d
2
— длины диагоналей четырёхугольника, α — угол между диагоналями. Пользуясь этой формулой, найдите длину диагонали d
2
, если d
1
=17, sinα=1/3, a S=51.
РЕШЕНИЕ:
S=d
1
d
2
sinα / 2
2S=d
1
d
2
sinα
d
2
=
2S
__
____
d
1
sinα
d
2
=
2∙51
__
____
17∙1/3
d
2
=
2∙51∙3
__
____
17
d
2
= 18
Ответ: 18
№ 2
Площадь четырёхугольника можно вычислить по формуле S=d
1
d
2
sinα / 2, где d
1
и d
2
— длины диагоналей четырёхугольника, α — угол между диагоналями. Пользуясь этой формулой, найдите длину диагонали d
2
, если d
1
=7, sinα=6/11, a S=21.
РЕШЕНИЕ:
S=d
1
d
2
sinα / 2
2S=d
1
d
2
sinα
d
2
=
2S
__
____
d
1
sinα
d
2
=
2∙21
__
____
7∙6/11
d
2
=
2∙21∙11
__
____
42
d
2
= 11
Ответ: 11
№ 3
Середина M стороны AD выпуклого четырёхугольника равноудалена от всех его вершин. Найдите AD, если BC=8, а углы B и C четырёхугольника равны соответственно 92∘ и 148∘.
РЕШЕНИЕ:
Точка М равноудалена от вершин ⇒ четырехугольник вписан в окружность, AD диаметр
дуга АС = 2 ∠В = 2 ∙ 92 = 184
дуга ВD = 2 ∠С = 2 ∙ 148 = 296
сумма всех дуг окружности 360
о
ВС + АС + BD – 180 = 360
BC + 184 + 296 - 180 = 360
BC + 300 = 360
BC = 60
∠BMC опирается на дугу ВС, ∠BMC = ВС = 60
о
∆BMC равносторонний, ВС = а = 8
АD = 2а = 2 ∙ 8 = 16
Ответ: 16
№ 4
Четырёхугольник ABCD со сторонами AB=33 и CD=18 вписан в окружность. Диагонали AC и BD пересекаются в точке K, причём ∠AKB=60∘. Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника.
РЕШЕНИЕ:
AB=33 и CD=18
Проводим AM || BD ⇒ DM = AB = 33 ; ∠1 = ∠BKA = 60
o
как накрест лежащие
ACDM вписан в окружность ⇒ сумма противолежащих углов 180
о
⇒
∠1+∠2 = 180
60 + ∠2 = 180
∠2 = 120
о
Рассмотрим ∆ CDM
Он списан в окружность
по т. косинусов CM
2
= CD
2
+ DM
2
- 2∙CM∙DM∙cos∠2
CM
2
= 33
2
+ 18
2
- 2∙33∙18∙cos120 = 33
2
+ 18
2
- 2∙33∙18∙( –cos60) = 1089 + 324 + 1188∙1/2 = 1413 + 594 = 2007
CM = √2007
по т. синусов
CM
___ = 2R
sin ∠2
CM
___ = 2R
sin 120
CM
___ = 2R
sin 60
2CM
___ = 2R
√3
CM
___ = R
√3
√2007
___ = R
√3
R = √669
Ответ: √669
№ 5
Четырёхугольник ABCD со сторонами AB=19 и CD=22 вписан в окружность. Диагонали AC и BD пересекаются в точке K, причём ∠AKB=60∘. Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника.
РЕШЕНИЕ:
AB=19 и CD=22
Проводим AM || BD ⇒ DM = AB = 19 ; ∠1 = ∠BKA = 60
o
как накрест лежащие
ACDM вписан в окружность ⇒ сумма противолежащих углов 180
о
⇒
∠1+∠2 = 180
60 + ∠2 = 180
∠2 = 120
о
Рассмотрим ∆ CDM
Он списан в окружность
по т. косинусов CM
2
= CD
2
+ DM
2
- 2∙CM∙DM∙cos∠2
CM
2
= 19
2
+ 22
2
- 2∙19∙22∙cos120 = 19
2
+ 22
2
- 2∙19∙22∙( –cos60) = 361 + 484 + 836∙1/2 = 845 + 418 = 1263
CM = √1263
по т. синусов
CM
___ = 2R
sin ∠2
CM
___ = 2R
sin 120
CM
___ = 2R
sin 60
2CM
___ = 2R
√3
CM
___ = R
√3
√1263
___ = R
√3
R = √421
Ответ: √421
№ 6
Середина M стороны AD выпуклого четырёхугольника ABCD равноудалена от всех его вершин. Найдите AD, если BC=18, а углы B и C четырёхугольника равны соответственно 132∘ и 93∘.
РЕШЕНИЕ:
Точка М равноудалена от вершин ⇒ четырехугольник вписан в окружность, AD диаметр
дуга АС = 2 ∠В = 2 ∙ 132 = 264
дуга ВD = 2 ∠С = 2 ∙ 93 = 186
сумма всех дуг окружности 360
о
ВС + АС + BD – 180 = 360
BC + 264 + 186 - 180 = 360
BC + 270 = 360
BC = 90
∠BMC опирается на дугу ВС, ∠BMC = ВС = 90
о
∆BMC прямоугольный равнобедренный треугольник, ВС = 18
а
2
+ а
2
= 18
2
2а
2
= 18
2
а = 9√2
АD = 2а = 2 ∙ 9√2 = 18√2
Ответ: 18√2
№ 7
В выпуклом четырёхугольнике NPQM диагональ NQ является биссектрисой угла PNM и пересекается с диагональю PM в точке S. Найдите NS, если известно, что около четырёхугольника NPQM можно описать окружность, PQ=14, SQ=4.
РЕШЕНИЕ:
∠2 = ∠1 (NQ биссектриса)
∠2 = ∠3 (опираются на дугу MQ)
⇒
∠1 = ∠3
∆ NPQ ∞ ∆ PSQ
NQ
=
PQ
PQ
_
SQ
NQ = PQ
2
/ SQ
NQ = 14
2
/ 4 = 49
NS = NQ – SQ = 49 – 4 = 45
Ответ: 45
№ 8
Четырёхугольник ABCD со сторонами AB=44 и CD=8 вписан в окружность. Диагонали AC и BD пересекаются в точке K, причём ∠AKB=60∘. Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника.
РЕШЕНИЕ:
AB=44 и CD=8
Проводим AM || BD ⇒ DM = AB = 44 ; ∠1 = ∠BKA = 60
o
как накрест лежащие
ACDM вписан в окружность ⇒ сумма противолежащих углов 180
о
⇒
∠1+∠2 = 180
60 + ∠2 = 180
∠2 = 120
о
Рассмотрим ∆ CDM
Он списан в окружность
по т. косинусов CM
2
= CD
2
+ DM
2
- 2∙CM∙DM∙cos∠2
CM
2
= 44
2
+ 8
2
- 2∙44∙8∙cos120 = 44
2
+ 8
2
- 2∙44∙8∙( –cos60) = 1936 + 64 + 704∙1/2 = 2000 + 352 = 2352
CM = √2354
по т. синусов
CM
___ = 2R
sin ∠2
CM
___ = 2R
sin 120
CM
___ = 2R
sin 60
2CM
___ = 2R
√3
CM
___ = R
√3
√2354
___ = R
√3
R = √784 = 28
Ответ: 28
Страницы:
1
2
Перейти на другой форум:
Задания по разделам русского языка
Выражения с параметром / Решите уравнение
Графики
Задачи на составление уравнений
Найдите значение выражения
Неравенства
Построение графика функции
Решите систему уравнений / систему неравенств
Упростите выражение / Сократите дробь
Дроби Масштаб Единицы измерения
Задачи на проценты - Задачи на части
Задачи с практическим содержанием
Корни (радикалы) - Степень
Координатная прямая - Масштаб - Сравнение значений
Верные утверждения
Окружность
Параллелограмм
Прямоугольник
Треугольник
Трапеция
Квадрат
Ромб
Углы
Четырехугольник
В горных районах устраивают террасы ...
На графике точками изображено
На плане изображено домохозяйство
Арифметическая последовательность
Геометрическая последовательность
Теория вероятностей
При копировании материала с сайта
активная ссылка обязательна!
Сайт управляется
SiNG cms
© 2010-2015