РЕШЕНИЕ:



∆ BEA₁ ∞ ∆ AEB₁ (по двум углам)

Пусть коэффициент подобия равен k

A₁E = x , EB₁ = kx

BE = y , AE = ky

∆ EA1B1 ∞ ∆ ABE (по 2 пропорциональным сторонам и углу между ними) ⇒ ∠AA1B1 = ∠ABB1

РЕШЕНИЕ:
∆ABC ∞ ∆CDE с коэффициентом подобия k=2

S_∆ABC = k² ∙ S_∆CNM

S_∆ABC = 4 ∙ S_∆CNM

S_∆ABC = 4 ∙ 20 = 80

S_ABMN = 80 - 20 = 60

Ответ: 60

РЕШЕНИЕ:
S = 1/2 * основание * высоту = 1/2 * 8 * 31 = 124
Ответ: 124

РЕШЕНИЕ:


( 11 √ 3 )² = 3 а²

363 = 3 а²

а² = 363 / 3

а² = 121

a = 11

2а = 2 ∙ 11 = 22

Ответ: 22

РЕШЕНИЕ:



S∆ABK + S∆AKM = S∆ / 2 ⇒ S∆ABK = S∆ / 2 – S∆AKM

BK:KM=4:9 ⇒
S∆ABK = 4
S∆AKM__9

S∆ / 2 – S∆AKM = 4
S∆AKM__9

9S∆ – 18 S∆AKM = 8 S∆AKM

26 S∆AKM = 9S∆

S∆AKM = 9S∆ / 26

∆AKM ∞ ∆NKB

AM = KM
BN__BK

x = 9
BN__4

BN = 4x / 9

∆ACP ∞ ∆NBP

AC = PC
BN__BP

2x__ = PC
4x / 9__BP

9 = PC
2 __BP

S∆ABP = BP
S∆APC__PC

S∆ABP = 2
S∆APC__9

S∆ABP + S∆APC = S∆ ⇒ S∆ABP = S∆ – S∆APC

S∆ – S∆APC = 2
S∆APC______9

9 S∆ – 9 S∆APC = 2 S∆APC

11 S∆APC = 9 S∆

S∆APC = 9 S∆ / 11

S KPCM = S∆APC – S∆AKM = 9 S∆ / 11 – 9S∆ / 26 = 135S∆ / 286

S∆AKM / S KPCM = 9S∆ / 26 : 135S∆ / 286 = 9/26 ∙ 286/135 = 11/15

Ответ: 11/15

РЕШЕНИЕ:
Пусть основание треугольника а
а + 37 + 37 = 98
а = 98 - 37 - 37
а = 98 - 74
а = 24

S = √p(p-a)(p-b)(p-c) , где р - полупериметр = 98 / 2 = 49

S = √49 (49-37)(49-37)(49-24) = √(49∙12∙12∙25) = 420

Ответ: 420

РЕШЕНИЕ:


BH = PK = 12

Ответ: 12

РЕШЕНИЕ:
Центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы

AB = √( AC² + BC²) =√ ( 16 ² + 12 ² ) = √ 400 = 20

R = AB / 2 = 20 / 2 = 10

Ответ: 10