Информатика

Всё о сервере, форум!
Основы программирования
ИНФОРМАЦИОННО-РАЗВЛЕКАТЕЛЬНЫЙ ПОРТАЛ

ИНФОРМАТИКА: ЕГЭ, ТЕОРИЯ, ПРАКТИКА, ТЕСТЫ

Среднее арифметическое
 

Содержание заданий и решения
Example
На доске написано более 40, но менее 48 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно −3, среднее арифметическое всех положительных из них равно 4, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно −8.

а) Сколько чисел написано на доске?

б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?

в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?
МЕТОД РЕШЕНИЯ:


Example
На доске написано более 27, но менее 45 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно −5, среднее арифметическое всех положительных из них равно 9, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно −18.

а) Сколько чисел написано на доске?

б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?

в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?
РЕШЕНИЕ:

положительных k среднее 9
отрицательных l среднее - 18
нулей m
всего чисел k+l+m среднее - 5
( k+l+m ) может быть 28,29,30,31,32,33,34,35,36,37,38,39,40,41,42,43,44

А) 9k - 18 l + 0 m = - 5 ( k+l+m )
9(k - 2 l) = - 5 ( k+l+m )
левая делится на "9", правая часть ( k+l+m ) тоже должна делится на "9"
из чисел 28,29,30,31,32,33,34,35,36,37,38,39,40,41,42,43,44 на "9" делится число 36 На доске 36 чисел

Б) 9(k - 2 l) = - 5 ( k+l+m )
9k - 18 l = -5 k - 5 l - 5 m
9k+5k+5m = 18 l - 5 l
14k+5m = 13 l
14k < 13 l
k < l
положительных < отрицательных Отрицательных чисел больше

В) 9(k-2) = - 5 ( k+l+m ) k+l+m = 36
9(k - 2 l) = - 5∙36______ k+l ≤ 36
k - 2 l = -20__________ - 20 + 2 l + l ≤ 36
k = - 20 + 2 l_________ - 20 + 3 l ≤ 36
___________________ 3 l ≤ 36 + 20
___________________ 3 l ≤ 56
___________________ l ≤ 18,6
___________________ l ≤ 18
k ≤ - 20 + 2 l
k ≤ - 20 + 2 ∙ 18
k ≤ 16

Г)
положительных k=16 среднее 9
отрицательных l = 18 среднее - 18
всего чисел 36
(16 ∙ 9 + 18 ∙ (-18))/36 = - 5 среднее, верно
Положительных не больше 16

Ответ: а) 36 б) отрицательных больше в) 16

Example
На доске написано более 42, но менее 56 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно 4, среднее арифметическое всех положительных из них равно 14, а среднее арифметическое отрицательных из них равно -7.

а) Сколько чисел написано на доске?

б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?

в) Какое наибольшее количество отрицательных чисел может быть среди них?
РЕШЕНИЕ:

положительных k среднее 14
отрицательных l среднее - 7
нулей m
всего чисел k+l+m среднее 4
( k+l+m ) может быть 43,44,45,46,47,48,49,50,51,52,53,54,55

А) 14k - 7 l + 0 m = 4 ( k+l+m )
7(2k - l) = 4 ( k+l+m )
левая делится на "7", правая часть ( k+l+m ) тоже должна делится на "7"
из чисел 43,44,45,46,47,48,49,50,51,52,53,54,55 на "7" делится число 49 На доске 49 чисел

Б) 9(k - 2 l) = 4 ( k+l+m )
14k - 7 l = 4 k + 4 l + 4 m
14k- 4k = 7 l + 4 l + 4 m
10k = 11 l + 4 m
10k > 11 l
k > l
положительных > отрицательных Положительных чисел больше

В) 7(2k - l) = 4 ( k+l+m ) k+l+m = 49
7(2k - l) = 4∙49______ k+l ≤ 49
2k - l = 28__________ k+2k - 28≤ 49
l = 2k - 28_________ - 28 + 3 k≤ 49
___________________ 3 k ≤ 49 + 28
___________________ 3 k ≤ 77
___________________ k ≤ 25.6
___________________ k ≤ 25
l ≤ 2k - 28
l ≤ 2 ∙ 25 - 28
l ≤ 22

Г)
положительных k= 25 среднее 14
отрицательных l = 22 среднее - 7
всего чисел 49
(25 ∙ 14 + 22 ∙ (-7))/49 = 4 среднее, верно
Отрицательных не больше 22

Ответ: а) 49 б) положительных больше в) 22


Example
На доске написано более 36, но менее 48 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно -5, среднее арифметическое всех положительных из них равно 6, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно -12 .

а) Сколько чисел написано на доске?

б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?

в) Какое наибольшее количество отрицательных чисел может быть среди них?
РЕШЕНИЕ:

положительных k среднее 6
отрицательных l среднее - 12
нулей m
всего чисел k+l+m среднее - 5
( k+l+m ) может быть 37,38,39,40,41,42,43,44,45,46,47

А) 6k - 12 l + 0 m = - 5 ( k+l+m )
6(k - 2 l) = - 5 ( k+l+m )
левая делится на "6", правая часть ( k+l+m ) тоже должна делится на "6"
из чисел 37,38,39,40,41,42,43,44,45,46,47 на "6" делится число 42 На доске 42 числа

Б) 6(k - 2 l) = - 5 ( k+l+m )
6k - 12 l = -5 k - 5 l - 5 m
6k+5k+5m = 12 l - 5 l
11k+5m = 7 l
11k < 7 l
k < l
положительных < отрицательных Отрицательных чисел больше

В) 6(k-2) = - 5 ( k+l+m ) k+l+m = 42
6(k - 2 l) = - 5∙42______ k+l ≤ 42
k - 2 l = -35__________ - 35 + 2 l + l ≤ 42
k = - 35 + 2 l_________ - 35 + 3 l ≤ 42
___________________ 3 l ≤ 42 + 35
___________________ 3 l ≤ 77
___________________ l ≤ 25,6
___________________ l ≤ 25
k ≤ - 35 + 2 l
k ≤ - 35 + 2 ∙ 25
k ≤ 15

Г)
положительных k=15 среднее 6
отрицательных l = 25 среднее - 12
всего чисел 42
(15 ∙ 6 + 25 ∙ (-12))/42 = - 5 среднее, верно
Отрицательных не больше 25

Ответ: а) 42 б) отрицательных больше в) 25

Example
На доске написано более 45, но менее 55 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно 3, среднее арифметическое всех положительных из них равно 10, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно «–5».

а) Сколько чисел написано на доске?

б) Каких чисел написано больше положительных или отрицательных?

в) Какое наибольшее количество отрицательных чисел может быть среди них?
РЕШЕНИЕ:

положительных k среднее 10
отрицательных l среднее - 5
нулей m
всего чисел k+l+m среднее 3
( k+l+m ) может быть 46,47,48,49,50,51,52,53,54

А) 10k - 5 l + 0 m = 3 ( k+l+m )
5(2k - l) = 3 ( k+l+m )
левая делится на "5", правая часть ( k+l+m ) тоже должна делится на "5"
из чисел 46,47,48,49,50,51,52,53,54 на "5" делится число 50 На доске 50 чисел

Б) 5(k - 2 l) = 3 ( k+l+m )
10k - 5 l = 3 k + 3 l + 3 m
10k- 3k = 5 l + 3 l + 3 m
7k = 8 l + 3 m
7 k > 8 l
k > l
положительных > отрицательных Положительных чисел больше

В) 7(2k - l) = 4 ( k+l+m ) k+l+m = 50
5(2k - l) = 3∙50______ k+l ≤ 50
2k - l = 30__________ k+2k - 30≤ 50
l = 2k - 30_________ - 30 + 3 k≤ 50
___________________ 3 k ≤ 50 + 30
___________________ 3 k ≤ 70
___________________ k ≤ 23,3
___________________ k ≤ 23
l ≤ 2k - 30
l ≤ 2 ∙ 23 - 30
l ≤ 16

Г)
положительных k= 23 среднее 10
отрицательных l = 16 среднее - 5
всего чисел 49
(23 ∙ 10 + 16 ∙ (-5))/50 = 3 среднее, верно
Отрицательных не больше 16

Ответ: а) 50 б) положительных больше в) 16

Example
На доске написано более 35, но менее 49 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно 5, среднее арифметическое всех положительных из них равно 14, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно -7.

а) Сколько чисел написано на доске ?

б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных ?

в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них ?
РЕШЕНИЕ:

положительных k среднее 14
отрицательных l среднее - 7
нулей m
всего чисел k+l+m среднее 5
( k+l+m ) может быть 36,37,38,39,40,41,42,43,44,45,46,47,48

А) 14k - 7 l + 0 m = 5 ( k+l+m )
7(2k - l) = 5 ( k+l+m )
левая делится на "7", правая часть ( k+l+m ) тоже должна делится на "7"
из чисел 36,37,38,39,40,41,42,43,44,45,46,47,48 на "7" делится число 42 На доске 42 чисел

Б) 5(k - 2 l) = 5 ( k+l+m )
14k - 7 l = 5 k + 5 l + 5 m
14k- 5k = 7 l + 5 l + 5 m
9k = 12 l + 3 m
9 k > 12 l
k > l
положительных > отрицательных Положительных чисел больше

В) 7(2k - l) = 5 ( k+l+m ) k+l+m = 42
7(2k - l) = 5∙42______ k+l ≤ 42
2k - l = 30__________ k+2k - 30≤ 42
l = 2k - 30_________ - 30 + 3 k≤ 42
___________________ 3 k ≤ 42 + 30
___________________ 3 k ≤ 72
___________________ k ≤ 24
___________________ k ≤ 24
l ≤ 2k - 30
l ≤ 2 ∙ 24 - 30
l ≤ 18

Г)
положительных k= 24 среднее 14
отрицательных l = 18 среднее - 7
всего чисел 49
(24 ∙ 14 + 18 ∙ (-7))/42 = 5 среднее, верно
Положительных не больше 24

Ответ: а) 42 б) положительных больше в) 24

 
При копировании материала с сайта активная ссылка обязательна!
Сайт управляется SiNG cms © 2010-2015