РЕШЕНИЕ:

x²+(2−a)²=|x−2+a|+|x−a+2|

Введем переменную t = 2−a

Уравнение запишется в виде

x² + t² = |x − t| + |x+t|

Построим графики функций левой и правой части



Единственный корень будет точкой касания функций y=x² + t² и у= |x + t| + |x−t| (на рисунке розовый и синий графики)

t² = 2 | t |

t>0

t² = 2 t

t(t-2) = 0

t=0 или t=2

t=2 ⇒ 2−a = 2 ⇒ a = 0

t<0

t² = -2 t

t(t+2) = 0

t=0 или t=-2

t=-2 ⇒ 2−a = -2 ⇒ a = 4

Если t=0 ⇒ 2−a =0 ⇒ a = 2 ⇒ x²−|x|=|x| ⇒ x²−2|x|=0 два решения ⇒ a = 2 не удовлетворяет условию

Ответ: 0 и 4

РЕШЕНИЕ:

6a + √5+4x-x² = ax+3

√9-(x²-4x+4) = ax + 3 - 6a

√3² - (х-2)² = ax + 3 - 6a

√3² - (х-2)² график часть окружности, с центром в точке (2;0), радиусом 3

ax + 3 - 6a прямая с угловым коэффициентом k = а, все прямые проходят через точку E(6;3)

Найдем общую точку пересечения всех графиков у=ax + 3 - 6a
при а = 1 y=х-3 при а=2 y=2х-9
х-3=2х-9
x=6
y=3
E(6;3)



Нужно найти единственное решение. Это касательная или прямые, которые пересекают окружность в одной точке.

Угловой коэффициент касательной k=0 ⇒ a = 0 ⇒ a=0

Угловой коэффициент прямой, проходящей через точки Е и В k=tg α = ED/BD = 3/7

Угловой коэффициент прямой, проходящей через точки Е и C k=tg α = ED/CD = 3/1 = 3

Прямые, которые пересекают окружность только в одной точке с угловым коэффициентом 3/7 < k ≤ 3

3/7 < k ≤ 3

3/7 < a ≤ 3

a ∈ (3/7;3]

Ответ: (3/7;3] , 0

РЕШЕНИЕ:

ax + √-7-8x-x² = 2a+3

√9-(x²+8x+16) = - ax + 2a+3

√3² - (х+4)² = - ax + 2a+3

√3² - (х+4)² график часть окружности, с центром в точке (-4;0), радиусом 3

- ax + 2a+3 прямая с угловым коэффициентом k = - а, все прямые проходят через точку E(2;3)

Найдем общую точку пересечения всех графиков у=- ax + 2a+3
при а = 1 y=-х+5 при а=2 y=-2х+7
-х+5=-2х+7
x=2
y=3
E(2;3)



Нужно найти единственное решение. Это касательная или прямые, которые пересекают окружность в одной точке.

Угловой коэффициент касательной k=0 ⇒ - a = 0 ⇒ a=0

Угловой коэффициент прямой, проходящей через точки Е и В k=tg α = ED/BD = 3/9 = 1/3

Угловой коэффициент прямой, проходящей через точки Е и C k=tg α = ED/CD = 3/3 = 1

Прямые, которые пересекают окружность только в одной точке с угловым коэффициентом 1/3 < k ≤ 1

1/3 < k ≤ 1

1/3 < k ≤ 1

- 1/3 > a ≥ -1

a ∈ (- 1;-1/3]

Ответ: (- 1;-1/3] , 0

РЕШЕНИЕ:

x²−|x+2+a|=|x−a−2|−(a+2)²

Введем переменную t = a+2

Уравнение запишется в виде

x²−|x+t|=|x−t|−t²

x² + t² = |x − t| + |x+t|

Построим графики функций левой и правой части



Единственный корень будет точкой касания функций y=x² + t² и у= |x + t| + |x−t| (на рисунке розовый и синий графики)

t² = 2 | t |

t>0

t² = 2 t

t(t-2) = 0

t=0 или t=2

t=2 ⇒ a + 2 = 2 ⇒ a = 0

t<0

t² = -2 t

t(t+2) = 0

t=0 или t=−2

t=-2 ⇒ a+2 = −2 ⇒ a = − 4

Если t=0 ⇒ a+2 =0 ⇒ a = − 2 ⇒ x²−|x|=|x| ⇒ x²−2|x|=0 два решения ⇒ a = − 2 не удовлетворяет условию

Ответ: 0 и − 4

РЕШЕНИЕ:

10a + √-35+12x-x² = ax+1

√1-(x²-12x+36) = ax + 1 - 10a

√1² - (х-6)² = ax + 1 - 10a

√1² - (х-6)² график часть окружности, с центром в точке (6;0), радиусом 1

ax + 1 - 10a прямая с угловым коэффициентом k = а, все прямые проходят через точку E(10;1)

Найдем общую точку пересечения всех графиков у=ax + 1 - 10a
при а = 1 y=х-9 при а=2 y=2х-19
х-9=2х-19
x=10
y=1
E(10;1)



Нужно найти единственное решение. Это касательная или прямые, которые пересекают окружность в одной точке.

Угловой коэффициент касательной k=0 ⇒ a = 0 ⇒ a=0

Угловой коэффициент прямой, проходящей через точки Е и В k=tg α = ED/BD = 1/5

Угловой коэффициент прямой, проходящей через точки Е и C k=tg α = ED/CD = 1/3 = 3

Прямые, которые пересекают окружность только в одной точке с угловым коэффициентом 1/5 < k ≤ 1/3

1/5 < k ≤ 1/3

1/5 < a ≤ 1/3

a ∈ (1/5;1/3]

Ответ: (1/5;1/3] , 0

РЕШЕНИЕ:

∣ 2x²−3x−2 ∣=a−2x²−8x

Построим графики функций

у = ∣ 2x²−3x−2 ∣

у=a−2x²−8x



у=a−2x²−8x парабола, вершины направлены вниз

Координаты вершин парабол: х₀ = -b/(2a) = 8/(-4)=-2

y₀ = a−2x²−8x = a−2(-2)²−8(-2) = a - 24

Решение одно - когда графики касаются (точка Е). Найдем а , при котором Е точка касания ∣ 2x²−3x−2 ∣=a−2x²−8x при x≤ - 1/2

2x²−3x−2 =a−2x²−8x

4x² + 5x - (2+a) = 0

D = 25 + 16(2+a) Единственное решение при D=0 ⇒ 25 + 16(2+a)=0 ⇒ 25+32+16a=0 ⇒ 57+16a=0 ⇒
⇒ a= - 57/16

Уравнение не имеет решения, если парабола у=a−2x²−8x расположена ниже параболы при a = - 57/16 a<-57/16

a ≤ - 57/16

a ∈ (- ∞; - 57/16)

Ответ: (- ∞; - 57/16]