Информатика

Всё о сервере, форум!
Основы программирования
ИНФОРМАЦИОННО-РАЗВЛЕКАТЕЛЬНЫЙ ПОРТАЛ

ИНФОРМАТИКА: ЕГЭ, ТЕОРИЯ, ПРАКТИКА, ТЕСТЫ



Имеется 8 карточек. На них записывают по одному каждое из чисел
ЕГЭ, ДОМАШНИЕ ЗАДАНИЯ > Задачи на составление уравнений > Имеется 8 карточек. На них записывают по одному каждое из чисел
 

Содержание заданий и решения
Example
Общий метод решения

Example
Имеется 8 карточек. На них записывают по одному каждое из чисел 1, –2, –3, 4, –5, 7, –8, 9. Карточки переворачивают и перемешивают. На их чистых сторонах заново пишут по одному каждое из чисел 1, –2, –3, 4, –5, 7, –8, 9. После этого числа на каждой карточке складывают, а полученные восемь сумм перемножают.

а) Может ли в результате получиться 0?
б) Может ли в результате получиться 1?
в) Какое наименьшее целое неотрицательное число может в результате получиться?

РЕШЕНИЕ:
а1 а2 а3 а4 а5 а6 а7 а8 и b1 b2 b3 b4 b5 b6 b7 b8
(a1+b1) (a2+b2) (a3+b3) (a4+b4) (a5+b5) (a6+b6) (a7+b7)

а) Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Во множествах а и b нет противоположный чисел ⇒ результат не может быть 0

б) Во множествах 5 нечетных чисел ⇒ на одной карточке попадутся 2 нечетных числа, которые в сумме дают четное. Поэтому произведение четно и не равно 1

Ч Ч Ч Н Н Н Н Н
Н Н Н Н Н Ч Ч Ч
(Ч четное, Н нечетное)

в) Во множествах 5 нечетных чисел ⇒ хотя бы на двух нечетные числа, которые в сумме - четные. Всё произведение делится на 4. Наименьшее целое число, которое делится на четыре 4. Оно получается при наборе чисел [1; -2], [-2; 1], [-3; 5], [5; -3], [-6; 7], [7; -6], [-8; 9], [9; -8]

Ответ: а) нет б) нет в) 4





Example
Максим должен был умножить двузначное число на трёхзначное число (числа с нуля начинаться не могут). Вместо этого он просто приписал трёхзначное число справа к двузначному, получив пятизначное число, которое оказалось в N раз ( N – натуральное число) больше правильного результата.

а) Могло ли N равняться 2?
б) Могло ли N равняться 10?
в) Каково наибольшее возможное значение N?
РЕШЕНИЕ:

а - двузначное число, b - трехзначное

1000 а + b = N a b
b = N a b - 1000 a
b делится на а . Пусть b = ka
b = N a b - 1000 a
k a = N a k a - 1000 a делим обе части на а
k = N k a - 1000
N k a - k = 1000
k ( N a - 1) = 23 ∙ 53

А) N = 2
k ( 2 a - 1) = 23 ∙ 53
2 a - 1 степень 5 (25, 125, 625)
10 ≤ а < 100 (а двузначное число)
20 ≤ 2а < 200
19 ≤ 2а - 1 < 199 данному интервалу принадлежат 25 и 125
Проверка: 2а - 1 = 25, а = 13
1000 а + b = N a b
13 000 + b = 26 b
25 b = 13 000
b = 520
N может равняться 2

б) N = 10
k ( 10 a - 1) = 23 ∙ 53
10 a - 1 степень 5 (25, 125, 625)
10 ≤ а < 100 (а двузначное число)
100 ≤ 10а < 1000
99 ≤ 10а - 1 < 999 данному интервалу принадлежат 125 и 625
Проверка:
10а - 1 = 125, а = 12,5 дробное
10а - 1 = 625, а = 62,5 дробное
N не может равняться 10

в)
1000 а + b = N a b

N = 1000 а + b
_____ ab

N = 1000 + 1
_____ b___ а

а ≥ 10 двузначное число, b ≥ 100 - трехзначное

N ≤ 1000 + 1
___ 100__ 10

N ≤ 10,1

N не может равняться 10

Пусть N = 9
k ( 9 a - 1) = 23 ∙ 53
9 a - 1 степень 5 (25, 125, 625)
10 ≤ а < 100 (а двузначное число)
90 ≤ 9а < 900
89 ≤ 9а - 1 < 899 данному интервалу принадлежат 125 и 625
Проверка: 9а - 1 = 125, а = 14
1000 а + b = N a b
14 000 + b = 126 b
125 b = 14 000
b = 112
N может равняться 9 и это максимальное число

Ответ: а) да б) нет в) 9

Example
Каждый из группы учащихся сходил в кино или в театр, при этом возможно, что кто-то из них мог сходить и в кино, и в театр. Известно, что в театре мальчиков было не более 4/13 от общего числа учащихся группы, посетивших театр, а в кино мальчиков было не более 2/5 от общего числа учащихся группы, посетивших кино.

а) Могло ли быть в группе 10 мальчиков, если дополнительно известно, что всего в группе было 20 учащихся?

б) Какое наибольшее количество мальчиков могло быть в группе, если дополнительно известно, что всего в группе было 20 учащихся?

в) Какую наименьшую долю могли составлять девочки от общего числа учащихся в группе без дополнительного условия пунктов а и б?
РЕШЕНИЕ:

В театр ходило m1 мальчиков и d1 девочек m1 ≤4/13 (m1+d1)
В кино ходило m2 мальчиков и d2 девочек m2 ≤ 2/5 (m2+d2)

13 m1 ≤4 (m1+d1)
5 m2 ≤ 2 (m2+d2)

13 m1 - 4 m1 ≤ 4 d1
5 m2 - 2m2 ≤ 2 d2

9 m1 ≤ 4 d1
3 m2 ≤ 2 d2 Умножим на 3

9 m1 ≤ 4 d1 ≤ 4 d d - общее количество девочек
9 m2 ≤ 6 d2 ≤ 6 d

Сложим неравенства

9(m1 + m2) ≤ 10 d

А) Может ли m1 + m2 = 10 ?

9 ∙ 10 ≤ 10 d

9 ≤ d

Такое возможно, если количество девочек будет равно 10.

9 m1 ≤ 4 d
3 m2 ≤ 2 d

9 m1 ≤ 40 ⇒ m1= 2, d=10
3 m2 ≤ 20 ⇒ m2 = 6, d=10

Б) 9(m1 + m2) ≤ 10 d

m - общее количество мальчиков

9 m ≤ 10 d

m ≤ d

Наибольшее количество, когда m = d
m = 20 : 2 = 10

в) 9 m ≤ 10 d

d ≥ 9/10 m

Наименьшая доля 9/(9+10) = 9/19

Ответ: a) да б) 10 в) 9/19





Example
Каждый из группы учащихся сходил в кино или в театр, при этом возможно, что кто-то из них мог сходить и в кино, и в театр. Известно, что в театре мальчиков было не более 3/10 от общего числа учащихся группы, посетивших театр, а в кино мальчиков было не более 5/12 от общего числа учащихся группы, посетивших кино.

а) Могло ли быть в группе 8 мальчиков, если дополнительно известно, что всего в группе 16 учащихся?

б) Какое наибольшее количество мальчиков могло быть в группе, если дополнительно известно, что всего в группе 16 учащихся?

в) Какую наименьшую долю могли составлять девочки от общего числа учащихся в группе без дополнительного условия пунктов а и б?
РЕШЕНИЕ:

В театр ходило m1 мальчиков и d1 девочек m1 ≤3/10 (m1+d1)
В кино ходило m2 мальчиков и d2 девочек m2 ≤ 5/12 (m2+d2)

10 m1 ≤3 (m1+d1)
12 m2 ≤ 5 (m2+d2)

10 m1 - 3 m1 ≤ 3 d1
12 m2 - 5m2 ≤ 5 d2

7 m1 ≤ 3 d1
7 m2 ≤ 5 d2

7 m1 ≤ 3 d1 ≤ 3 d d - общее количество девочек
7 m2 ≤ 5 d2 ≤ 5 d

Сложим неравенства

7(m1 + m2) ≤ 8 d

А) Может ли m1 + m2 = 8 ?

7 ∙ 8 ≤ 8 d

7 ≤ d

Такое возможно, если количество девочек будет равно 8.

7 m1 ≤ 3 d
7 m2 ≤ 5 d

7 m1 ≤ 24 ⇒ m1= 2, d=8
7 m2 ≤ 40 ⇒ m2 = 6, d=8

Б) 7(m1 + m2) ≤ 8 d

m - общее количество мальчиков

7 m ≤ 8 d

m ≤ d

Наибольшее количество, когда m = d
m = 16 : 2 = 8

в) 7 m ≤ 8 d

d ≥ 7/8 m

Наименьшая доля 7/(7+8) = 7/15

Ответ: a) да б) 8 в) 7/15

Example
Каждый из группы учащихся сходил в кино или в театр, при этом возможно, что кто-то из них мог сходить и в кино, и в театр. Известно, что в театре мальчиков было не более 3/13 от общего числа учащихся группы, посетивших театр, а в кино мальчиков было не более 4/9 от общего числа учащихся группы, посетивших кино.

а) Могло ли быть в группе 10 мальчиков, если дополнительно известно, что всего в группе было 20 учащихся?

б) какое наибольшее количество мальчиков могло быть в группе, если дополнительно известно, что всего в группе было 20 учащихся?

в) Какую наименьшую долю могли составлять девочки от общего числа учащихся в группе без дополнительного условия пунктов а и б ?
РЕШЕНИЕ:

В театр ходило m1 мальчиков и d1 девочек m1 ≤3/13 (m1+d1)
В кино ходило m2 мальчиков и d2 девочек m2 ≤ 4/9 (m2+d2)

13 m1 ≤3 (m1+d1)
9 m2 ≤ 4 (m2+d2)

13 m1 - 3 m1 ≤ 3 d1
9 m2 - 4m2 ≤ 4 d2

10 m1 ≤ 3 d1
5 m2 ≤ 4 d2 Умножим на 2

10 m1 ≤ 3 d1 ≤ 3 d d - общее количество девочек
10 m2 ≤ 8 d2 ≤ 8 d

Сложим неравенства

10(m1 + m2) ≤ 11 d

А) Может ли m1 + m2 = 10 ?

10 ∙ 11 ≤ 10 d

11 ≤ d

Такое возможно, если количество девочек будет равно 10.

10 m1 ≤ 3 d
5 m2 ≤ 4 d

10 m1 ≤ 30 ⇒ m1= 2, d=10
5 m2 ≤ 40 ⇒ m2 = 8, d=10

Б) 10(m1 + m2) ≤ 11 d

m - общее количество мальчиков

10 m ≤ 11 d

m ≤ d

Наибольшее количество, когда m = d
m = 20 : 2 = 10

в) 10 m ≤ 11 d

d ≥ 10/11 m

Наименьшая доля 10/(10+11) = 10/21

Ответ: a) да б) 10 в) 10/21

 
При копировании материала с сайта активная ссылка обязательна!
Сайт управляется SiNG cms © 2010-2015