РЕШЕНИЕ:

x²−|x−5+a|=|x−a+5|−(5−a)²

Введем переменную t = 5−a

Уравнение запишется в виде

x²−|x−t|=|x+t|−t²

x² + t² = |x + t| + |x−t|

Построим графики функций левой и правой части



Единственный корень будет точкой касания функций y=x² + t² и у= |x + t| + |x−t| (на рисунке розовый и синий графики)

t² = 2 | t |

t>0

t² = 2 t

t(t-2) = 0

t=0 или t=2

t=2 ⇒ 5−a = 2 ⇒ a = 3

t<0

t² = -2 t

t(t+2) = 0

t=0 или t=-2

t=-2 ⇒ 5−a = -2 ⇒ a = 7

Если t=0 ⇒ 5−a =0 ⇒ a = 5 ⇒ x²−|x|=|x| ⇒ x²−2|x|=0 два решения ⇒ a = 5 не удовлетворяет условию

Ответ: 3 и 7

РЕШЕНИЕ:

ax + √-3-4x-x² = 3a+1

√-3-4x-x² = - ax + 3a+1

√1² - (х+2)² = - ax + 3a+1

√1² - (х+2)² график часть окружности, с центром в точке (-2;0), радиусом 1

- ax + 3a+1 прямая с угловым коэффициентом k = - а, все прямые проходят через точку E(3;1)

Найдем общую точку пересечения всех графиков у=- ax + 3a+1
при а = 1 y=-х+4 при а=2 y=-2х+7
-х+4=-2х+7
x=3
y=1
E(3;1)



Нужно найти единственное решение. Это касательная или прямые, которые пересекают окружность в одной точке.

Угловой коэффициент касательной k=0 ⇒ - a = 0 ⇒ a=0

Угловой коэффициент прямой, проходящей через точки Е и В k=tg α = ED/BD = 1/6

Угловой коэффициент прямой, проходящей через точки Е и C k=tg α = ED/CD = 1/4

Прямые, которые пересекают окружность только в одной точке с угловым коэффициентом 1/6 < k ≤ 1/4

1/6 < k ≤ 1/4

1/6 < k ≤ 1/4

- 1/6 > a ≥ -1/4

a ∈ (- 1/4;-1/6]

Ответ: (- 1/4;-1/6] , 0

РЕШЕНИЕ:


Построим графики функций левой и правой части

Если х=0 5/(х+2)=5/2

у = a|x-3| Угловой коэффициент k = a Все прямые проходят через точку (3;0)



Нужно найти значения а, при которых уравнение имеет ровно 2 корня. Это все прямые, которые расположены между касательной и прямой, проходящей через точку (0;5/2)

Найдем угловые коэффициенты (АВ) и (ВС)

Угловой коэффициент прямой, проходящей через точки А и В k=tg α = ОА/ОВ = 5/2 : 3 = 5/6

Вычислим при каком значении а графики функций проходят через точку С (угловой коэффициент ВС) a|x-3| = 5/(x+2) при х < 3 ⇒

⇒ а(3-х) = 5/(x+2)

а(3-х)(x+2) = 5

3ах - ах²+6а-2ах-5=0

ах²-ах+(5-6а) = 0

Уравнение имеет единственное решение, при D=0

D = a²-4a(5-6a) = 0

a(a-20+24a)=0

a(25a-20)=0

25a-20=0 или а=0

25а = 20

а = 20/25 = 4/5

а ∈ (4/5 ; 5/6 ]

Ответ: (4/5 ; 5/6 ]

РЕШЕНИЕ:

∣ 2x²−3x−2 ∣=a−2x²−8x

Построим графики функций

у = ∣ 2x²−3x−2 ∣

у=a−2x²−8x



у=a−2x²−8x парабола, вершины направлены вниз

Координаты вершин парабол: х₀ = -b/(2a) = 8/(-4)=-2

y₀ = a−2x²−8x = a−2(-2)²−8(-2) = a - 24

Решение одно - когда графики касаются (точка Е). Найдем а , при котором Е точка касания ∣ 2x²−3x−2 ∣=a−2x²−8x при x≤ - 1/2

2x²−3x−2 =a−2x²−8x

4x² + 5x - (2+a) = 0

D = 25 + 16(2+a) Единственное решение при D=0 ⇒ 25 + 16(2+a)=0 ⇒ 25+32+16a=0 ⇒ 57+16a=0 ⇒ a= - 57/16

Уравнение не имеет решения, если парабола у=a−2x²−8x расположена ниже параболы при a = - 57/16 a<-57/16

a ≤ - 57/16

a ∈ (- ∞; - 57/16)

Ответ: (- ∞; - 57/16]

РЕШЕНИЕ:

∣ 5/x−3 ∣=ax−2

Построим графики функций

у = ∣ 5/x−3 ∣

у=ax−2



у=a−2x²−8x парабола, вершины направлены вниз

Решение два - когда графики касаются (точка Е). Найдем а , при котором Е точка касания ∣ 5/x−3 ∣=ax−2 при x≤ - 5/3

∣ 5/x−3 ∣=ax−2

- 5/x +3 =ax−2

ax² - 5x + 5 = 0

D = 25 - 20a Единственное решение при D=0 ⇒ 25 - 20a =0 ⇒ 20a=25 ⇒ a= 25/20=5/4

Решений три, если прямая у=ax−2 проходит через точку (5/3;0) ⇒ 0 = 5/3а - 2 ⇒ а=6/5

Уравнение имеет более двух корней, если прямые у=a−2x²−8x расположены между прямыми при а=5/4 и а=6/5 a∈(5/4;6/5]

Ответ: a∈(5/4;6/5]