РЕШЕНИЕ:
r=Sокружности/р , где р полупериметр треугольника. Найдем все стороны треугольника.
AC=CB=x, AC=2 AO
sin A = 4/5
по условию sin α = 4/5 Тогда cos α = √(1-sin²α) = √(1-4²/5²)=√(9/25)=3/5
cos A = AO/AC
AO = cos A ∙ AC = 3/5 x
AB=2 AO = 2 ∙ 3/5 x = 6/5 x
по т.Пифагора СН²=х²-(3/5 x)²=16/25 х ⇒ СН=4/5 х
========================
∆CED (∠Е=90°) ∠С=180°-2α
sin C = DE/DC
DC=DE/sin C
DC=24/sin(180°-2α) = 24/(sin2α)=24/(2sin α ∙ cos α)=12/(sin α ∙ cos α)
DC=12/(sin α ∙ cos α) = 12/(4/5 ∙ 3/5)= 12/(12/25)=25
по т.Пифагора СЕ²=DC²-DE²=25²-24²=625-576=49 ⇒ CE=7
=======================
AC=CB=x
AB= 6/5 x
AD=x - 25
EB = x - 7
Так как окружность вписана в четырехугольник ADEB, суммы противоположных сторон четырехугольника равны
AD+EB=DE+AB
(x-25) + (x-7) = 24 + 6/5 x
2x - 32 = 24 + 6/5 x Умножим обе части уравнения на 5
10x - 160 = 120 + 6х
4х = 280
х=70
===================
AC=CB=x=70
AB= 6/5 x=84
СН=4/5 х = 56
===================
r=Sокружности/р , где р полупериметр треугольника
S = ½ AB ∙ CH = ½ 84 ∙ 56 = 2 352
p = (70+70+84)/2 = 112
r=Sокружности/р = 2352/112 = 21
Математика / ИКТ (ЕГЭ)
