РЕШЕНИЕ:

y = (x−2)²e^x−2
Найдем производную
у^/ = 2(х-2)e^x−2 + (x²−4x+4)e^x−2
у^/ = e^x−2( 2х-4 + x²−4x+4) =e^x−2(x² - 2х)
у^/ = 0
e^x−2(x² - 2х) = 0
e^x−2 ≠ 0 e^x−2 > 0
x² - 2х = 0
x (x - 2) = 0
х=0 или х-2=0
х=0 или х=2
Знак производной на интервалах:
___.............____-_________+
_o___________[__________o___________] у^/
0______.__ 1______.__ 2______.__ 4
__..........____......_____
Наименьшее значение функции в точке х = 2
y(2)=(2−2)²e²⁻² = 0

Ответ: 0

РЕШЕНИЕ:

y = (x−2)²e^x
Найдем производную
у^/ = 2(х-2)e^x + (x²−4x+4)e^x
у^/ = e^x( 2х-4 + x²−4x+4) =e^x(x² - 2х)
у^/ = 0
e^x(x² - 2х) = 0
e^x ≠ 0 e^x > 0
x² - 2х = 0
x (x - 2) = 0
х=0 или х-2=0
х=0 или х=2
Знак производной на интервалах:
_______+_________-
_[__________o___________]___________o у^/
-5______.__ 0______.__ 1______.__ 2
_________
Наименьшее значение функции в точке х = 0
y(0)=(0−2)²e⁰ = 4

Ответ: 4

РЕШЕНИЕ:

y = (x+3)²e^−3−x
Найдем производную
у^/ = 2(х+3)e^−3−x - (x²+6x+9)e^−3−x
у^/ = e^−3−x( 2х+6 - x²−6x-9) =e^−3−x(-x² - 4х - 3)
у^/ = 0
e^−3−x(-x² - 4х - 3) = 0
e^−3−x ≠ 0 e^−3−x > 0
-x² - 4х - 3 = 0
D = 16 - 12 = 4 = 2²
x₁ = (4+2)/(-2) = -3
x₂ = (4-2)/(-2) = -1
Знак производной на интервалах:
_______-_________+
_[__________o___________o]__________ у^/
-5______.__ -3______.__ -1
_________
Наименьшее значение функции в точке х = -3
y(-3)=(-3+3)²e⁻³⁺³ = 0

Ответ: 0

РЕШЕНИЕ:

y = (x+6)²e^−4−x
Найдем производную
у^/ = 2(х+6)e^−4−x - (x²+12x+36)e^−4−x
у^/ = e^−4−x( 2х+12 - x²−12x-36) =e^−4−x(-x² - 10х - 24)
у^/ = 0
e^−4−x(-x² - 10х - 24) = 0
e^−4−x ≠ 0 e^−4−x > 0
-x² - 10х - 24 = 0
D = 100 - 96 = 4 = 2²
x₁ = (10+2)/(-2) = - 6
x₂ = (10-2)/(-2) = - 4
Знак производной на интервалах:
_______+_________-
_[o__________o___________]__________ у^/
-6______.__ -4______.__ -1
_________
Наибольшее значение функции в точке х = -4
y(-4)=(-4+6)²e⁻⁴⁺⁴ = 4

Ответ: 4

РЕШЕНИЕ:
у = e^2x−6e^x+3
у^/ = 2e^2x−6e^x
у^/ = 0
2e^2x−6e^x = 0
2e^x (e^x - 3) = 0
e^x ≠ 0 e^x > 0
e^x - 3 = 0
e^x = 3
х = ln 3
_____-_________+
_[__________o___________] у^/
1______.__ ln 3______.__ 2
________
Наименьшее значение в точке х=ln 3
у(ln 3) = e^{2ln 3}−6e^{ln 3}+3 = (e^{ln 3})²−6e^{ln 3}+3 = 3² - 6∙3 +3= 9-18+3 = -6

Ответ: - 6