РЕШЕНИЕ:


Центр окружности лежит на биссектрисе СН. В равнобедренном треугольнике СН является биссектрисой, медианой и высотой.

∆АНС по т.Пифагора СН = √(АС² - АН²) = √(40² - 24²)=√(40-24)(40+24) = √(16∙64) = 4 ∙ 8 = 32

АО = СО = R, CH=32 ⇒ OH=32-R

∆ AHO по т.Пифагора AH² + OH² = AO²

24²+(32-R)²=R²

576+1024-64R+R²=R²

1600 = 64R

R = 1600:64

R=25

Ответ: 25

РЕШЕНИЕ:

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований ⇒ (DC+AB)/2 = 5 ⇒ DC+AB=10

Периметр трапеции

DC+CB+AB+AD=22

10 + CB + AD = 22

CB + AD = 22 - 10

CB + AD =12

В окружность можно вписать только равнобедренную трапецию ⇒ AD=CB

CB + AD =12

2CB = 12

CB=6

Ответ: 6

РЕШЕНИЕ:


∠1 = ∠2 как накрест лежащие

∠1 = ∠3 , т.к ∆ DCB равнобедренный

∠2 = ∠3, ∠2+∠3=60° ⇒ ∠2=30°

∆ ADB : ∠A = 60°, ∠2=30° ⇒ ∠ ADB = 180°-(∠A+∠2)=180°-90°=90° ⇒ ∆ ADB прямоугольный, около него описана окружность. Центр окружности совпадает с серединой гипотенузы АВ.

R = ½ АВ = 12/2 = 6

Ответ: 6

РЕШЕНИЕ:


Соединяем центр окружности с вершинами С и В. Проводим перпендикуляр из центра к основаниям трапеции - получим высоту трапеции.

h = a + b

∆ OMC по т. Пифагора а=√(5²-3²)=√(25-9)=√16=4

∆ОКВ по т.Пифагора b=√(5²-4²)=√(25-16)=√9=3

h = a + b = 4+3 = 7

Ответ: 7

РЕШЕНИЕ:

Так как 4-х угольник вписан в окружность, то сумма противоположных углов 180°

Сумма известных углов 82°+58°= 140° ≠ 180° ⇒ оба угла прилежат к одной стороне 4-х угольника.

Противоположный углу 82° угол = 180°-82°=98°

Противоположный углу 58° угол = 180°-58°=122°

Больший угол 122°

Ответ: 122

РЕШЕНИЕ:


4-х угольник вписан в окружность ⇒ сумма противолежащих углов =180°

х + 3х = 180°

4х = 180°

х = 45°

============
Сумма всех углов 4-х угольника 360°

∠D = 360°-(х+2х+3х)=360°-6х=360°-6∙45°=360°-270°=90°

Ответ: 90